泛亚电竞第一章电子电路

2023-04-23 08:48:08

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　　直流电路分析基础第一章直流电路分析基础11引言12电路设备的额定值和电路的三种工作状态13基尔霍夫定律和支路电流法14电阻电路的等效变换法15电源和电流源的等效变换16叠加定律17节点电位法18戴维定律和诺顿定律19电路分析综合练习学习要点：物理量的定义是物理课程的相关知识在本课程中的应用，注意参考方向的概念，并熟练的使用它；描述电路电流和电压约束关系的方程是节点电流定律（KCL）和回路电压定律（KVL），在求解电路问题的时候不仅要掌握含有正常的电压源和电流源的电路，还要熟练的掌握含有受控电压源和受控电流源的电路；用KCL和KVL理论上可以对所有的电路问题进行求解，但在某些场合用叠加定理或戴维南定理等方法更简便，注意通过一题多解的练习来体会用不同的方法求解同一个问题的思路和技巧。11引言111电子电路基础课程研究的问题电子电路基础课程研究的内容是：处理各类信号的电子系统的基本组成和工作原理。信号是信息的载体，描述信号的基本方法是写出它的数学表达式，此表达式通常是时间的函数，根据此函数绘制的图像称为信号的波形。按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号分为连续时间信号和离散时间信号。•连续时间信号的幅度变化可以是连续的，也可以是不连续的。在电子电路中，将幅度的变化是连续的连续时间信号称为模拟信号；将幅度的变化是离散的离散时间信号称为数字信号。1．1．2电路和电路模型将多个电器设备或元器件，按其所要完成的功能用一定的方式连接起来的总体称为电路，电路是电流流通的路径。电路通常由电源、负载和中间环节三部分组成。电源是指电路中可将化学能、机械能、原子能等其他形式的能量转换成电能，并向电路提供能量的那些设备，如干电池，发电机等。电源通常被分成两类，一类为电压源（为电路提供电压的器件），另一类为电流源（为电路提供电流的器件）。在电子电路课程中，除了有电压源和电流源之外，还有受控电压源（输出电压受外界输入信号控制的电压源）和受控电流源（输出电流受外界输入信号控制的电流源），各种电源在电路中所用的符号如图1-2所示。图1-2（a）和图1-2（b）是电压源的符号，图1-2（c）是电流源的符号，图1-2（d）是受控电压源的符号，图1-2（e）是受控电流源的符号。负载是指电路中能将电能转换为其他形式的能量并对外作功的用电器，如电灯、电动机、电热器等，负载在电路中通常表示成电阻，用字母R来表示，电阻在电路中常用的符号为“”。中间环节是指将电源与负载连接成闭合电路的导线、开关、保护设备，测量仪表等。搭建各种电路都有一定的目的，尽管电路的结构千差万别，但它们的功能大致可概括为两大类：一是作为能量的传输或转换，如，照明和动力电路等；二是作为信号的传递和处理，如，计算机和通信电路等。1．1．3描述电路工作状态的几个物电荷的定向运动形成电流，习惯上将正电荷运动的方向规定为电流的流动方向。计量电流大小的物理量称为电流强度，简称电流，用英语字母I来表示。电流强度的定义为：单位时间内通过导体横截面的电量。如果任一瞬间，通过导体横截面的电量是大小和方向均不随时间变化的Q，则电流强度I的表达式为根据国家标准，不随时间变化的物理量用大写的字母来表示，随时间变化的物理量用小写的字母来表示，所以，式（1-1）就是直流电流强度的表达式，交流电流强度的表达式为dtdq在国际单位制（SI）中，电流强度的单位为安培，简称安（A）。大型电力变压器中的电流可达几百到上千安培，而晶体管电路中的电流往往只有千分之几安培，对于很小的电流可用毫安（mA）或微安（μA）来表示，它们之间的换算关系为1（A）=103（mA）=106（μA）在物理学课程中已知，电荷在电场中移动时，电场力将对电荷做功。为了描述电场力对电荷做功能力的大小，引入物理量电压的概念。电场中a，b两点间电压Uab的定义为：Uab在数值上等于把单位正电荷从a点移到b点时，电场力所作的功。电压的定义式为式中的Ua和Ub分别表示电场中a、b两点对零电压点的电压，当Uab大于零时，说明a点的电压比b点高，当Uab小于零时，说明dqdw在国际单位制中电压的单位为伏特（V），简称伏。1伏电压在数值上等于将1库仑的正电荷从a点移到b点，电场力作了1焦耳的功。在电路分析课程中，通常将处在高电压的a端用“+”号来表示，而用“-”来表示处在低电压的b端，电压的方向是由高电压点指向低电压点。即，由a指向b，如图1-4所示。随时间变化的电压表达式为（1-5）电动势是表征电源特征的物理量。在图1-4中，正电荷在电场力的作用下，从高电压的a点经过负载（灯泡）向低电压的点b移动，形成电流I。正电荷由a移到b时，就要与b极板上的负电荷中和，使两极板上的电荷逐渐减少，两极板问的电场也逐步减小，相应的电流也将逐渐减小到中断。为了使电路中的电流能够持续不断，在a、b两极板之间必须有一种非电场力，该力可以将正电荷从低电压点的b极板通过电源内部推向高电压点的a极板，使a、b两电极问始终保持一定的电压，电源是靠非电场力来完成这个任务的。在图1-4中，电源是一个电池，其内部化学反应所产生的非电场力将正电荷从低电压点的b电极．通过电源内部推向高电压点的a电极，并在电源内部建立起电场，使电源的正、负两极维持一定的电压。非静电力在电源内部不断地把正电荷从低电压点移向高电压点就要克服电场力做功，电源的电动势就是表征电源内部非静电力对电荷做功能力大小的物理量，用符号E来表示。综上所述，电源的电动势在数值上等于非静电力把单位正电荷从电源的低电压点b经电源内部移到高电压点a时所做的功。用公式表示为式中的Q是电源内部由非静电力移动的电量，W是非静电力所做的功。比较式1-4与式1-6可见电动势与电压具有相同的量纲，所以，电动势和电压具有相同的单位伏特V。电动势与电压虽然单位相同，但两者得物理概念却不同。电动势是描述电源的非电场力对电荷做功能力大小的物理量。在电源内部，非静电力将正电荷从电源负极移到正极做功，将非电能转化为电能。电动势的作用是使正电荷获得电能而电压升高，所以，电动势的实际方向是从电源内部的负极指向电源的正极，即电压升高的方向。电压是描述电源的电场力对电荷做功能力大小的物理量，在电源外部，电场力将正电荷从电源正极移到负极做功，将电能转化为其它形式的能量。电压的作用是使正电荷的电压降低，对外做功，所以，电压的实际方向是从电源的正极指向负极，即电压降低的方向。电源电动势和电压的实际方向刚好相反。综合图1-4可得，在电源内部非静电力做功，将非电能转化为电能，并建立电动势以维持电源两极板间的电压保持不变；而在外电路中，电场力做功，负载将电能转化为非电能。由于电源两极间存在着电压，只要电路一接通，电流就持续不断。在电源内部，电动势的作用，使电流从负极流向正极，即从低电压点流向高电压点；而在外电路中，因电压的作用，电流从高电压点流向低电压点，即电压降低的方向。电位又称电势，它是描述电场中某一点与零电位参考点之间电位差的物理量。计算电场中某一点 （例如a点）电位的方法是：先指定电场中的一 个点（例如b点）为参考点，用符号“”来表示， 并规定参考点的电位为零。电路中任一点与参考 点之间的电压就是该点的电位。 电位是电路分析中的重要概念，在电子电路课程中，常用电位的概念来分析电路中元件的工作状 态。应用电位的概念还可以简化电路图的画法， 便于分析计算，如图1-5所示。 图1-5（a）是电路的经典画法，也是大家比较熟悉的画法；图1-5（b）是以b点为零电位点的画法。图（b）的画法是后 续课程中常用的画法，希望大家要熟悉这种画法，要很熟练 的掌握这两种画法之间的转换关系。 电荷是物质的一种属性。它描述了带电荷的物体具有吸引轻小物体的性质。电荷在电路分析的课程中用符号Q来表示。某带电体在t时 电路中用来储存电荷的容器称为电容器，在物理课中已知，电容器由电介质隔开的两金属电极片组成，电容器在电路中常用的符号是 表征电容器性质的物理量称为电容器的电容，用字母C来表示。电容C的定义为：电容器上所储存的电荷量Q与两极板的电位差Uab 之比，即 ab （1-8）（1-8） 电容在国际单位制中的单位为法拉（F），法拉的单位太大了，在电子电路课程中常接触到的电容单位为微法拉（μF）和微微 法拉（pF），它们之间的换算关系为 1F=106μF=1012PF 电容器在电路中是一个储能元件，电容器中所储存的电能WC为 （1-9）式中的U是电容器两极板之间的电压。 在物理学中已知，将导线绕制成N匝螺线管，就构成一个电感线圈。没有铁磁物质的线圈称为线性电感线圈，线性电感线圈通常用符号 当线圈中通有电流I时，线圈内部就会产生磁通。对于N匝线圈，乘积N称为线圈的磁通匝链数，简称磁链，用字母来表示。实验 表明线性电感线圈的磁链与流过线圈中的电流I成正比的关系，其 比值为 式中的L称为自感系数，简称电感。它是表征线圈性质的物理量，表示单位电流在线圈中所产生磁链数的大小。在国际单位制中， 电感的单位用亨利（H）。在现代电子电路课程中经常接触到的 电感单位是毫亨（mH），微亨（μH），它们之间的换算关系为 1H=103mH=106μH 电感线圈在电路中也是一个储能元件，电感线圈内所储存的电能WL为 1．1．4电流、电压和电动势的参考方向 中学物理在分析和计算电路问题的时候，电流、电压和电动势的方向是统一约定的。即，电流I在外电路中从电源的正极出发，流 向负极；在内电路中从电源的负极出发流向正极。电压U的方向是 从电源的正极指向负极，电动势E的方向是从电源的负极指向正极。 这种约定的方向与电路中电流、电压和电动势的实际方向相一致， 在分析、计算简单电路（单电源电路）的问题时是可行的，但在 分析、计算如图1-6所示的复杂电路问题时却有困难。 在分析和计算复杂电路问题的时候，电路中电流和电压的实际方向往往事先无法确定，在电流、电压的方向无法确定的情况下， 没有办法对电路进行分析和计算。为了解决这一问题，引入电流、 电压和电动势参考方向的概念。 电流、电压和电动势的参考方向指的是：在分析和计算复杂电路的问题之前，为了分析和计算的需要而假设的电流、电压和 电动势的方向，这些方向通常用如图1-6所示得箭头来表示。 在图1-6中I1、I2和I3旁边的箭头表示电流I1、I2和I3 的参考方向，U1、U2和 U3旁边的箭头表示电阻R1、 R2和R3两端电压的参考方 向，E1和E2表示电源1和2 电动势的参考方向，Us1 和Us2上下的正、负号表 示电压源输出电压的参考 方向 参考方向的假设是任意的，任意假设的参考方向与电流、电压和电动势的实际方向之间存在着差别，这种差别体现在，在某些电路中 参考方向与实际的方向相一致，而在另一些电路中，参考方向与实 际的方向则相反，但不论属于那种情况，都不会影响电路分析和计 算结论的正确性。这是因为按参考方向求解得出的电压和电流的值 有大于零和小于零两种可能。大于零，为正值，说明该参考方向与 实际的方向相一致；小于零，为负值，说明该参考方向与实际的方 向相反。 顺便指出，在进行电路分析和计算的时候，在没有标明电流或电压参考方向的前提下，就讨论电流或电压的正、负值是没有意义的。 电压的参考方向除了用箭头表示之外，还可以用正、负号或下标ab等来表示，如图1-7所示。 图中的符号Uab、Ubc不仅表示电压Uab、Ubc值的大小，也表示该电压的参考方向是从a指向b，从b指向c。 在用电位表示电路中某一点的电压值时，该电压的参考方向是确定的，都 是从该点指向零电位点。 参考方向的假设是任意的，在电路分析的计算中，将两个相同方向的参考 方向称为关联参考方向；反之称为非 关联参考方向。 虽然参考方向的假设是任意的，但为了分析计算的方便，通常将同一个电 路的无源器件（如电阻元件等）上电 流和电压的参考方向设定成相关联的， 而将电源电动势和电源两端电压的参 考方向设定成非关联的。 欧姆定律是电路的基本定律之一，它说明流过电阻的电流与该电阻两端电压之间的关系，反映了电阻元件的特性。 对于一段仅含电阻R的电路，欧姆定律表示流过电阻R的电流I与电阻两端的电压U成正比的关系，其数学表达式为 （1-12）或写成 IR 注意：式1-12和1-13成立的条件是电流和电压的参考方向为相关联。当电压和电流的参考方向为非关联时，式1-12和1-13等式的 左边必须加上一个负号。即 IR 【例1-1】求图1-8所示四段电路电压Uab的大小，并说明电压的实际方向， 已知电阻R为5Ω。 【解】图（a）和图（b）电路中电流和电压的参考方向为相关联，欧姆定律的形式为式1-13，根据1-13可得 因为Uab为正，说明Uab的实际方向和参考方向相同， 从a指向b。 因为Uab为负，说明Uab的实际方向和参考方向相反， 从b指向a 图（c）和图（d）电路中电流和电压的参考方向为非关联，欧姆定律的形式为式1-14，根据1-14可得 因为Uab为负，说明Uab的实际方向和参考方向相反，从b指向a。 因为Uab为正，说明Uab的实际方向和参考方向相同，从a指向b 1．1．6电功率、电源和负载的判断 电流在电路中流动，用电器要吸收电场的能量，并将其转换成其他形式的能量，如图1-9所示，研究电路能量转换的问题，也是对 电路进行分析和计算的一个重要内容。 在图1-9所示的电路中，电源电动势E为电路提供电能，在忽略电源内阻的情况下，负载电阻 RL上消耗的电能可根据电压的定义式来计算。 根据电压的定义式，正电荷Q在电场力作用下，从a点通过负载RL移动到b点的过程中，电场力 所做的功W为 IUt QU 功W就是负载在时间t内所消耗的电场能量。当负载是纯电阻器件时，可将欧姆定律代入式1-15 中，可得纯电阻RL所消耗的电场能量WR为 （1-16） 在国际单位制中，电能的单位用焦耳（J）来表示。单位时间内负载所吸收的电能称为电功率，简称功率，用字母P来表示，在国 际单位制中，功率的单位是瓦特（P）。功率P的表达式为 IU （1-17）对于线性电阻电路，功率P的表达式为 注意：当电流和电压的参考方向为相关联时，式1-15和1-17对任何器件均适用，而式1-16和1-18仅适用于线性电阻电路。当电流 和电压的参考方向为非关联时，式1-15和1-17等式的右边需加一 负号。即 IU 在图1-9中，电阻RL上电流和电压的参考方向是关联的，根据式1-17计算得到的功率P为正数，说明电阻RL吸收电场的能量， 并将其转换成其他形式的能量，是电路的负载；电源E上的电流 和电压的参考方向为非关联，计算电源E的功率必须用1-19式， 计算出来的结果为负值，说明该器件不是消耗电路的能量，而 是向电路提供能量，是电路的电源。 根据上面的讨论可知，利用P大于零或小于零的特点，可以判断某一个器件在电路中是承担负载或电源的角色。 【例1-2】图1-10电路中的A、B、C为三个不同性质的电子器件， 各器件上电流、电压参考方向的设定如图所示。已知I1=2A，I2= I3= -2A，U1=20V，U2=5V，U3= -15V，计算各器件的功率，并 根据计算结果判断各器件的性质。 【解】因为器件A、B上电流和电压的参考方向 为非关联，而器件C上电流和电压的参考方 向为关联，根据式1-19和式1-17可得 4020 根据PA小于零的计算结果，可得器件A的性质是电源；根据PB和PC大于零的计算结果，可得器件B和器件C的性质是负载。 当电路的电流和电压均是时间的函数时，功率也是时间的函数，在电流和电压的参考方向相关联时，计算功率的表达式为 （1-20）1．2 电器设备的额定值和电路的三种工作状态 电器设备的额定值是由制造厂家提供的。它是根据设计、材料及制造工艺等因素，由制造厂家给出的各项性能指标和技术数据。按额定值 使用电器设备最为安全可靠、经济合理。额定值往往标在设备的铭牌 上或由说明书来提供，所以在使用电器设备之前必须仔细阅读铭牌或 说明书的内容。 电器设备的额定值用字母加下标N来表示。电器设备的额定值包括额定功率PN、额定电压UN、额定电流IN、额定温升等。铭牌上只给出 主要的额定值，其它的可根据公式来计算。例如一个标有1W、400Ω 的电阻，表示该电阻的阻值为400Ω，额定功率为lW，由P=I2R的关 系，可求得它的额定电流为005A。 额定值是规定设备运行时所允许的上限值。超过额定值运行，设备将会毁坏或缩短使用寿命。例如，当流过上述电阻中的电流值超过 005A时，电阻就会因电流太大而过热，严重时会损坏该电阻。在低 于额定值下使用设备也是不可取的，如220V、100W的电烙铁，在 低于220V电压下使用时，不能充分发挥电烙铁的作用，既不经济也 不合理。 当电源与负载通过中间环节连接成电路后，电路可能处于如图1-11所示的通路、开路或短路的工作状态下。 图1-11（a）表示通路的状态，（b）表示开路的状态，（c）表示短路的状态。下面以该电路为例，分别讨论在三种工作状态 下，电路中电流和电压的关系。 在图1-11a中，开关K闭合，电源Ｕs与负载RL接通，电路处于通路的状态。电路中的电流I为电源的输出电流 式中的R0是电源的内电阻，通常R0很小。电源的输出电压U为负载电阻RL两端的电压UL，根据欧姆定律和1-21式可得电源输出电 压U的表达式为 由式1-22式可知，在Ｕs保持不变的情况下，R0越大，电源输出的电压越小，这就是新、旧电池输出电压不同的原因。 在图1-11（b）中，开关K断开，电源未与负载接通，电路处于开路的状态。处在开路状态下的电路，负载与电源没有接通，电路中 的电流为零，负载电阻两端的电压UL也为零泛亚电竞，根据1-22式可得电 源输出电压U0在数值上等于电压源的电压值Ｕs，U0又称为电路的 开路电压。处于开路状态下的电路，其电流和电压的关系为 在图1-11（c）中电源两端a、b处，因某种原因而直接相连，或者在负载电阻两端直接相碰，都会造成电源短路，使电路处在短路 的工作状态下。 处在短路工作状态下的电路，由于外电路负载为零，电源输出电压UL也为零，电源输出电流IS称为短路电流，短路电流很大，会 烧坏电源。 电源短路是危险的事故状态，严格来说不能称之为电路的工作状态，引入短路工作状态的目的仅仅是为了后面分析电路问题的某 种需要。实用电路中为了防止电路短路而烧毁电源，在电路中均 接有如保险丝，空气开关等保护装置。处于短路状态下的电路， 其电流和电压的关系为 【例1-3】一热水器额定功率为800W，额定电压为220V，求该热 水器的额定电流和电阻。若将该热水器接在电压为110V的电路上， 求该热水器的输出功率泛亚电竞。 【解】在电流和电压的参考方向相关联时，根据 200800 220110 60800 220 64 220800 计算的结果说明用电器在低电压下工作不能正常发挥用电器的功率。 1．3 基尔霍夫定律和支路电流法 基尔霍夫定律是分析电路的基本定律之一。基尔霍夫定律阐述了在电路的结构确定之后，电路中汇于节点的电流、闭合 回路中电压之间的关系。这种关系仅与电路的结构相关，与 元件的性质无关。 基尔霍夫定律包括两个内容，一是基尔霍夫电流定律缩写为KCL，二是基尔霍夫电压定律缩写为KVL。基尔霍夫定 律既适用于线性直流电路，也适用于交流电路和非线性电路。 在介绍基尔霍夫定律之前，先解释几个相关的名词术语。 二端元件或若干个二端元件串联组成不分岔的一段电路称为支路。支路中的元件流过同一个电流。含有电源元件的 支路称为有源支路，不含电源元件的支路称为无源支路。 在图l-12中，有abc、ac和adc三条支路。其中ac为无源支 路，abc和adc为有源支路。 2．节点 电路中三条或三条以上支路的联接点称为 节点。在图l-12中，a和c点是三条支路 的联接点，所以，a和c点是节点。 电路中任何一个闭合的路径称为回路。在图1-12中，有abca、abcda和acda三 个回路。 内部不含其它支路的回路，称为网孔。在图1-12中，回路abca和acda是网孔 基尔霍夫电流定律描述了流入节点和流出节点电流之间的关系。KCL指出：任一瞬间，流入一个节点的电流等于流出该节点的电 流。在规定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负的前提下， 也可将KCL叙述成：任一瞬间，流入一个节点的电流代数和为零。 （1-25）利用KCL可确定图1-12中流入节点a的电流关系为 注意：由于KCL方程中电流的正、负号是由电流的流向来确定的，所以，在列KCL方程时应首先在电路图上设定电流的参考方向， 再根据设定的参考方向来列方程。 KCL不仅适用于电路中的节点，也可推广应用到如图1-13所示虚线 框所围的封闭面。在这种情况下，KCL指出：任一瞬间，流入一个 封闭面的电流等于流出该封闭面的电流。即， （1-26）在规定流入虚线框的电流为正，流出 为负的情况下，应用KCL可得 （1-27）由KCL可知，任何瞬间，在电路任何地点，均不会发生电荷堆积或 减少的现象，这种现象称为电流的连续性原理，体现了物理学中电 荷守恒定律的内容。 1．3．3 基尔霍夫电压定律KVL 基尔霍夫电压定律描述了沿任何闭合回路环绕一圈，回路内各种器 件两端电压之间的关系。KVL指出：任一瞬间，沿任何闭合回路环 绕一圈，各段电压的代数和为零。即 （1-28）在应用KVL列方程之前，同样必须先设定各支路电流及元件两端电 压的参考方向，然后，再选定环绕方向。当电压的参考方向与环 绕方向相一致时，该电压前取正号；当电压的参考方向与环绕方 向相反时，该电压前取负号。 图1-14为电路中的某个回路，电流、电压的参考方向和环绕方向 （虚线）在图中已标出。按图中设定的方向，根据KVL可列出 （1-29）将欧姆定律代入上式得 应用KVL列方程时应注意区分电压和电动势的概念，泛亚电竞KVL说的是电压的代数和为零，与电动 势无关，环绕时遇到电源的电动势，应根据电 动势和端电压的关系，将电动势转换成端电压。 如，1-29式中US1和US2分别为E1和E2电源的 端电压，列KVL方程时，我们用US1和US2， 而不用E1和E2。 1．3．4 支路电流法 支路电流法是以支路电流为未知量，根据基尔霍夫定律列方程式，然 后求出各支路电流的分析法。下面以图1-15所示的电路为例，说明支 路电流法的内容和解题步骤。 图1-15的电路共有两个节点（a、c），三条支 路（abc、ac、adc），三个回路（abca、adca、 abcda），两个网孔（abca、adca），应用支路电 流法可以很方便的求出三条支路的电流I 解题的步骤是：1、先设三条支路的电流分别为I ，并在图中标出三条支路电流的参考方向。在分析有n条 支路的电路问题时，应设n个支路电流为未知量。 2、根据KCL对节点a和c分别列节点电流方程为 节点a（1-30） （1-31） 由式1-30和1-31可见，两个方程是一样的。说明两个节点，只能 列一个独立的节点电流方程。当电路有三个节点时，可以证明， 独立的节点电流方程只有两个；对于有N个节点的电路，独立的节 点电流方程只有N-1个，另一个可由这N-1个方程联立求得。 3、在电路中标出各元件两端电压的参考方向，选择合适的回路， 设定环绕方向，列KVL方程式。电路中有几个回路，就可以列几 个KVL方程式。 对acba回路，设环绕的方向也是acba，KVL的方程式为 注意：电路中，R1电阻上电流和电压的参考方向设为非关联，在写欧姆定律时，IR表达式前应加负号（上式括号内的乘积项）。为 了解题的方便，一般不提倡将电阻R上电流和电压的参考方向设 置成这种形式。 对adca回路，设环绕方向也是adca，KVL方程式为 显然，1-34式可由1-32和1-33式相加求得，所以，它也不是独立的方程。一般在平面电路内，可选网孔作为回路，列网孔KVL方程，以保 证方程的独立性。 所谓平面电路，指的是将电路画成一个平面图时，不出现任何交叉 支路的电路。 当电路的支路数为M，节点数为N时，应用KVL可列出独立的方程数 为L=M-（N-1）。 在R1、R2、R3、US1和US2已知的情况下，联立解方程组，即可 求出三个支路电流I1、I2和I3。 【例1-4】 设在图1-15所示的电路中R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω， US1=3V，US2=1V。求：各支路电流I1、I2、I3和各电阻两端的电 压U1、U2、U3。 【解】根据图中所标的参考方向，选节点a和回路acba、adca列方 程，利用基尔霍夫定律可得 1112 1121 11 10 11 12 解的结果是I1、I3和U3为正，说明这几个量的实际方向和参考方向相一致，I2、U1和U2为负，说明这几个量的实际方向和参考方向相反。解 完之后，可将结果代入未选用过的回路，来验证结果的正确性。 将式1-35整理成线性方程组的标准形式。 1211 上述解的过程也可以用MATLAB软件来计算，计算的程序如下： 运行的结果如下：ans 10909-04545 06364 上式说明I1=10909，I2=-04545，I3=06364。 【例1-5】 求图1-16所示电路中电阻R3上的电流I3。已知R1=1Ω， R2=2Ω，R3=3Ω，US1=5V，US=5I1。 根据图中所标的参考方向，选节点a和回 路acba、adca来列方程，利用基尔霍夫 定律可得 09615-03846 13462 根据MATLAB程序运行的结果可得I3=13462A。 因I3的结果为正值，所以I3的实际方向与参考 方向相一致。 1．4 电阻电路的等效变换法 1．4．1电阻的串联 图1-17（a）是两个电阻串联的电路， （b）是它的等效电路。串联电路的特点 有三个： 1串联电路的电流I处处相等，即 I=I1=I2 （1-40） 2串联电路总电阻等于各分电阻的和，即 R=R1+R2 （1-41） 3串联电路总电压等于各分电压的和，即 U=U1+U2 （1-42） 利用上面的关系和欧姆定律可得串联分压公式 （1-43）1．4．2 电阻的并联 图1-19（a）是两个电阻并联的电路，（b）是它的等效电路。并联电 路的特点有三个 1并联电路的电压U处处相等，即 U=U1=U2 （1-44） 2并联电路总电阻等于各分电阻倒 数和的倒数，即 （1-45）为了讨论问题的方便，今后常用符号R1‖R2来表示1-45式的关系。 为了将上面的公式写成与串联电路相类似的形式，引入物理量电 导，用符号G来表示，所谓的电导就是电阻的倒数，即 （1-46）根据电导的概念，可将并联电路总电阻的表达式写成电导的关系。 即，并联电路的总电导等于各分电导的和。表达式为 （1-47）3并联电路的总电流等于各分电流的和，即 I=I1+I2 （1-48） 利用上面的关系和欧姆定律可得并联分流公式 （1-49）式中的I是总电流，I1是R1电阻所分到的电流，即流过 R1电阻的电流。并联分流公式用Multisim软件仿线 并联分流公式仿线万用表面板上的数据与理论计算的结果相同。 1．4．3电阻的混联 电阻串并联的组合称为电阻混联。处理混联电路问题的方法是： 利用电阻串联或并联的公式对电路进行等效变换，将复杂的混联 电路转化成简单的电路。 【例1-6】 求图1-21（a）所示电路的等效电阻Rab，已知图中各电阻 的阻值均为20Ω。 【解】解决此类问题的关键是，将电阻串、并联关系不清晰的电路 图整理成串、并联关系清晰的电路图。整理的方法是：先确定电路 的节点数，并在每个节点上添加辅助字母，以标记各节点之间的连 接关系，如图1-21（b）所示。 然后根据所添加的字母，将电路整理成串、并联关系清晰的电路图。 具体的做法是：先将a、b两点画成上下平行的两条线（在电路图中， 点与线可根据需要进行互换，不影响计算结果的正确性），然后依次 从a线出发，通过各电阻走到b线，并将所经过的各个电阻画在两线中 间，走的过程中如遇到另外的节点，将节点画在图上，并在旁边标上 刚才所添加的辅助字母，（如，从a线到节点c，从节 点c出发，再经过电阻R5到b线），使各电阻串并联的关系变清晰，如 图1-22所示。 图1-22清晰地显示出各电阻串并联 的关系是：R2与R3先并联，再与R5 串联，然后与R1和R4并联。根据电 阻串、并联的关系求得 Rab=75Ω 1．4．4 电阻Y形连接和Δ连接的等效变换 图1-23所示的电路是一种具有桥形结构的电路，它 是测量和传感器中常用的一种电桥电路，该电路中 的电阻既非简单的串联，又非简单的并联，不经处 理没有办法利用前面所介绍的方法，对电路进行等 效变换的化简处理。但图1-23中电阻的连接具有某 种对称的关系，这种对称的关系在一定的条件下可 以互相转换，而不改变电路的外特性。 电阻连接的对称关系有Y形连接（或称星形连接） 和Δ形连接（或称三角形连接）。图1-23中的电阻 R1、R3和R5构成一个Y形连接电路，电阻R1、R2 和R5构成一个Δ形连接电路。 下面来讨论这两种连接方式等效变换的公式。 由图1-23可以看出Y形连接和Δ形连接的特点是：在Y形连接中，各个 电阻都有一端接在一个公共的端点上，另一端引出三个端子与外界连 接如图1-24（a）所示；在Δ形连接中，各个电阻分别接在3个端子的 每两个之间，如图1-24（b）所示。 为了区别Y形连接和Δ形连接中的电阻，我们规定Y形连接中与端子1、 2、3相连的电阻分别用R1、R2和R3来表示，Δ形连接中跨接在端子 1、2、3上的电阻分别用R12、R23和R31来表示；流入Y形连接1、2、 3端口的电流分别用I1、I2和I3来表示，流入Δ形连接1、2、3端口上 的电流分别用来表示。 两电路实现等效变换必需满足的条件是：变换后两电路的外特性 要保持不变。泛亚电竞两电路的外特性是：端子电压和流入端子的电流。 在两电路相同字母的端子上加相同的电压，即可实现两电路端子电 压保持不变的条件，流入端子电流保持不变的方程式为 （1-50）设各电流的参考方向如图1-24所示，利用基尔霍夫定律可列出在 两种连接方式下，各个电流，电压相互关系的方程式。对于Y形连 接有 （1-51）将1-51式写成矩阵形式 对于Y形连接有 2312 该矩阵用MATLAB语言求解的程序为syms R1 R2 R3 U12 U23 a=sym[1,1,1;R1,-R2,0;0,R2,-R3]; b=sym[0;U12;U23]; c=inva*b; simplec 运行结果ans U12*R3+U12*R2+R2*U23R2*R3+R1*R3+R1*R2-U12*R3-R1*U23R2*R3+R1*R3+R1*R2 -U12*R2+R2*U23+R1*U23R2*R3+R1*R3+R1*R2 31代入上述解的结果可得 （1-52）对于Δ形连接有 23 23 31 31 1212 23 23 3131 12 12 （1-53）式1-52和1-53要相等，各个端子电压前的系数也要相等，即U12、U23和U31 前的系数要相等，比较系数得，Y形连接变Δ形连接电阻等效关系式为 （1-54）将1-54三式相加后通分可得，Δ形连接变Y形连接的电阻等效关系式为 31 23 12 31 12 3123 12 12 23 3123 12 23 31 （1-55）为了便于记忆，以上的变换公式可归纳为： 形不相邻电阻 形电阻两两乘积之和 形电阻 形电阻之和 形相邻电阻的乘积 形电阻 【例1-7】求图1-25所示电路的总电阻Rab。已 知R1=R2=R3=2Ω，R4=R5=R6=1Ω。 【解】：因为节点1、2、3和2、3、4内部的电路为 Δ形连接，而节点1、2、4和1、3、4内部的电路为Y 形连接，分别以节点3和2为公共点。任意选择一部 分电路进行变换即可实现电路的化简。 先将节点1、2、3内部的Δ 形连接电路转换成Y形 连接，为了计算等效阻的方便，将参与变换电阻 的标号写成标准的形式，如图1-26（a）所示。转 换以后的电阻用 来表示，转换后的电路如图1-26（b）所示。对照原电路可知；R 12 3123 12 23 31 3123 12 12 23 3123 12 31 12 根据图1-26（b）的电路图解得 3123 12 将参与变换的电阻标号写成标准的形式，并用与原电阻 的标号相区别，如图1-27（a）所示。转换以后的电阻用 来表示，转换后的电路如图1-27（b）所示。 对照原电路可知； 1．4．5输入电阻 具有向外引出一对端子的电路称为两端网络，常用图1-28所示的方 框来表示。 从端子1和2往网络内部看的电阻，该电阻称为网络的输入电阻，用符号Ri来表示。 （1-56）ri为网络的输入阻抗 u为加在端口上的外电压，i为流入端口的电流 因加在端口上的外电压和流入端口的电流不仅仅局限为直流电，所以用小写字母来表示。 求一个网络的输入电阻，除了用前面介绍的方法外，还可以通过在端口处外加一个输 入电压u，然后，测量在该电压的激励下，端口的输入电流i，最后利用欧姆定律求出 网络的输入电阻，该方法称为加压-求流法 【例1-8】 求图1-29所示电路端子a、b的输入电阻R ab 。已知各电阻的阻值相等， 均为R。 IRIR IR IR abab db cd ac ab 1．5电压源和电流源的等效变换1．5．1 电压源 能够向外电路提供电压的器件称为电压源 如图1-32（a）所示虚线框内部的电路就是电压源电路图中电压源旁的 箭头为US的参考方向。 描述理想化电压源外特性的函数式是 （1-57）由式1-57可见，理想化电压源的外特性曲线（b） 又称为电压源的伏（U）-安（A）特性曲线（b）纵轴上的点，为电压源输出电 流等于0的情况，相当于电压源处在开路的状态下。当电压源开路时，电压源的输出电压 U就等于US，所以，US通常称为电压源的开路电压。图1-32（b）横轴上的点，为电压 源输出电压等于0的情况，相当于电压源处在短路的状态下（实际上这是不允许的），电 压源输出电流为IS，所以，IS称为电压源的短路电流。计算短路电流的表达式为 （1-58）U=f（I）曲线越小，斜率越小，直线时，电压源的外 特性曲线是一条平行于I轴的直线。具有这种外特性曲线的电压源输出电压保持恒定值 US，这种电压源称为理想电压源，简称恒压源。将图1-32（a）虚线去掉，剩下的电路就是恒压源电路的模型。当恒压源的US值为0时，该恒压源相当于 一个短路元件。 1．5．2 电流源 如图1-33（a）虚线框内部的电路所示，图中电流源上的箭头为IS的参考方向。 电流为 （1-59）由式1-59可见，理想化电流源外特性曲线 电压源和电流源的等效变换 实现电压源和电流源互相置换的条件是：电压源和电流源的外特性必须一样。 为了讨论置换的方法，将电压源和电流源画在一起，如图1-34所示。 由电压源的外特性方程式1-57和 电流源的外特性方程式1-59可得： 当电压源和电流源满足US=ISRS 和R0=RS这两个条件时，电压源 和电流源的外特性就相同，可以 互相置换。即，可以将恒定电压 为US，内阻为R0的电压源，等效 为恒定电流为IS，内阻为RS的电 流源，反之也成立。 1、电压源和电流源参考方向在变换前后应保持对外电路等效。在图1- 34（a）中，US的方向为上正下负，对外电路而言，电流是从“a”端 流出，经外电阻RL流向“b”端。变换后的电流源在外电路中的电流应 保持不变，即从“a”端流出，经外电阻RL流向“b”端，所以，恒流源 IS的方向应从下流向上，与US的方向正好相反，为非关联的。 2、电源的等效变换仅对外电路而言，对电源内部是不等效的。例如， 当外电路开路时，电压源的输出电流为0，电压源不输出功率，内阻 上也不消耗功率；但对电流源来说，其内阻上仍有电流流过，内阻 将消耗功率。 3、因为恒压源和恒流源的外特性完全不一样，所以恒压源和恒流 源不能互相置换。在分析电路问题时，利用电源等效变换的方法可以 简化电路，以方便计算。 电压源和电流源作等效变换时应注意的几个问题是 【例1-9】 作出图1-35所示电路的等效电源图。 变换的过程是： 1．6叠加定理 【例1-10】 试用叠加定理计算图1-35所示电路的电流I和电压U。 【解】该电路受两个电源的共同作用，利用叠加定理求电流I和电压U时，应 先画出两个电源单独作用的分电路，如图1-38（a），（b）所示。 图1-38（a）是电压源单独作用时（电流源开路）的电路图，I（1）和U（1） 表示电压源单独作用时在该支路上所激励的电流和电压；图1-38（b）是电流 源单独作用时（电压源短路）的电路图，I（2）和U（2）表示电流源单独作 用时在该支路上所激励的电流和电压，图中的箭头表示相关电流和电压的参 考方向。由图1-38可得 【例1-11】试用叠加定理计算图1-40所示电路的电压U。图中受控电压源 的输出电压受流过6Ω 电阻的电流I ，各电流和电压的参考方向如图1-39所示。 图1-41（a）为电压源单独作用时（电流源开路）的电路图，图1-41（b） 为电流源单独作用时（电压源短路）的电路图。 由此可得 由图（b）电路可得，受控源与恒流源相串联，不影响恒流源的输出电流，4Ω和6Ω电阻对5A电流进行分流得和，参考方向与IS参考方向 相反，分流公式的右边要加“-”号。即 2632 3212 1．7节点电位法 节点电位法是以电路的节点电位为未知量的电路分析法。 【例1-12】 试用节点电位法求例1-43所示电路的电压U和U

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